风中起舞的科学奇才——纪念冯·卡门去世六十周年

发布者：横竖有理 2023-8-18 00:23

西奥多·冯·卡门是人类航天领域代表人物。他是空气动力学家、工程师，更是应用数学家，践行并强调“用数学指导工程研究”，其成果影响了世界格局。他也因培养了多位中国弟子而被中国人所铭记，特别是他与钱学森的学术传承、合作流传为一段佳话。2023年是冯·卡门逝世60周年，谨以此文纪念这位科学奇才。

撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

六十年前的1963年2月18日上午，一位已经81周岁的老人在来自世界各地朋友的围绕下，站在美国白宫的玫瑰花园里等待接受首届国家科学奖章。当肯尼迪总统在助手陪伴下抵达时，一行人前往接待区。患有关节炎的这位老者拖着脚步，在楼梯口停了下来，仿佛很痛苦。总统迅速走到他身边，握住了他的手臂。

他抬头看着年轻的总统，轻轻地甩掉了主动提供的援助。

“总统先生，”他惨然一笑地说，“向下不需要帮助，只有向上时需要。”

这或许是他留在人间的最后一句名言，记录在传记作者Lee Edson为其自传撰写的序言《与天才合作》的开头（这本自传由传主口述，与Edson合作多年完成）。1995年春，当我从任教大学图书馆借出此书读到它时，就深深地被传主的幽默迷住了。读完书后发现，他一生中的幽默故事伴随他惊人的科学业绩，如同自传书名The Wind and Beyond中的关键词“风”那样吹遍了书页。

这位老人的全名为西奥多·冯·卡门（Theodore von Kármán，1881年5月11日-1963年5月6日），他是那个时代全世界最伟大的空气动力学家。他被美国政府授奖，“表彰他在航空科学和工程基础领域的领导才能；表彰他在力学许多领域的卓有成效的教学和相关贡献，表彰他为军队提供的杰出顾问服务，以及他促进科学和工程领域的国际合作。”（For his leadership in the science and engineering basic to aeronautics；for his effective teaching and related contributions in many fields of mechanics, for his distinguished counsel to the Armed Services, and for his promoting international cooperation in science and engineering.）　

美国设立国家科学奖的第一枚奖章，既没有授予像韦伊（André Weil，1906-1998）这样的数学家、费曼（Richard Feynman，1918-1988）这样的物理学家或鲍林（Linus Pauling，1901-1994）这样的化学家，也没有授予像沃森（James Watson，1928-）这样的生物学家，而授予一位空气动力学家，因为在杰出的美国科学家中，他为国家作出的贡献是无以伦比的，甚至帮助改变了人类历史的进程。如果他的同胞数学家冯·诺伊曼（John von Neumann，1903-1957）那时还活着，大概也只有后者才可能有资格同他竞争这至高无上的荣耀。这位享誉世界的力学家，年轻时受过极好的数学和物理训练，事实上他是一名杰出的应用数学家。他将数学广泛应用于力学的实践中，就连他在答谢总统扶他一把时的幽默之语，也是用力学家的睿智吐出的。

肯尼迪总统颁奖给冯·卡门（1963）

获奖三个月后，在旅行德国亚琛的途中，冯·卡门去世，距离他82周岁生日仅五天。他生于匈牙利，同晚他一辈的冯·诺伊曼一样是神童，以其高不可攀的天赋被人们称为寥寥几个“来自火星的人”。他葬于南加州，他曾长期就职于这里的加州理工学院，一生未婚的他与母亲及一生未嫁的妹妹同眠在那里。他有传奇生涯、生动故事、伟大成就。他是值得被歌颂的一代人杰。

天才的起步

冯·卡门是犹太人，生于奥匈帝国时期的布达佩斯，父亲Mór Kármán（1843-1915）是著名教育家，推崇资优教育。他改革了匈牙利的学校系统，在布达佩斯按德国模式创建了 Minta Gymnasium，该校与另外两所匈牙利精英中学——Fasori Lutheran Gymnasium和Piarist Gymnasium，输送出一批世界级人才：冯·卡门、数学家瑞利（Alfred Rényi，1920-1971）和拉克斯（Peter Lax，1926-）、物理学家西拉德（Leo Szilard，1898-1964）和特勒（Edward Teller，1908-2003）毕业于前者；诺贝尔物理奖得主魏格纳（Eugene Wigner，1902-1995）和冯·诺伊曼相隔一年毕业于Fasori Lutheran；革命诗人裴多菲（Sándor Petőfi，1823-1849）则是Piarist的毕业生。Mór Kármán当过教育部专员，曾负责“规划皇帝的表弟年轻大公的教育”，1907年，他被封为贵族。

冯·卡门的父亲早就发现儿子早慧，并将自己的教育观在儿子身上实践。六岁时，冯·卡门可以进行“大型心算”，例如六位数的乘法。我们在冯·诺伊曼的传记中也读到类似的记载。看来，测验多位数乘法心算能力是确认一个儿童是否为“天才”的必要条件，简单实用。如果这个测验未过，父母就不必花金钱花精力把孩子送进奥数班或类似场所。我自己从小到大都缺乏多位数乘法心算能力，所以我父母只管让我自由发展，从不多管闲事，既避免了他们的烦神，也让我基本发展到智商的极限。

冯·卡门的父亲不鼓励儿子太早接受数学教育，担心他会成为神童和怪人，这与杨振宁的父亲杨武之对聪明孩子的做法一致。父亲亲自教他，或请自己的学生教他，直到他十岁时被送入Minta中学。在中学的最后一年，冯·卡门获得了“匈牙利全国数学和科学最佳学生”Eötvös奖。

既然冯·卡门的中学母校培养出不少像他这样青史留名的人物，让我们看看也被后人铭记为教育家的他如何回顾父亲创办的学校：

“通过展示其与日常生活的联系来教授一切。例如，在我们开始的拉丁语课上，我记得我们并不是从语法规则开始的。相反，我们被告知要在城市里走走，抄写雕像、教堂和博物馆上的铭文。……当我们收集了这些短语并将它们带到课堂上时，老师问我们哪些单词我们已经认识了。我们通常可以认出短语中的几个单词。如果没有，我们就会查找它们。然后他问我们是否认识到同一个单词的不同形式。为什么形式不同？因为它们与铭文中的其他词语表现出不同的关系。我们继续这样，直到我们理解了每个短语以及为什么它被放置在纪念碑上。”

“我热切学习的数学是根据日常统计来教授的。……例如，我们查阅了匈牙利几年来的小麦产量数据。我们建立了表格，然后绘制了图表，这样我们就可以观察变化并找出小麦产量的最大值和最小值。在图表中，我们寻找相关性，并了解了‘变化率’，这将我们带到了微积分的边缘。因此，我们以实际的方式了解到，变化的数量之间存在着某种关系，并且，与拉丁语一样，我们同时了解了该国不断变化的社会和经济力量。”

在冯·卡门口述、他逝世后四年出版的精彩自传中，他进一步说到在那所学校“学生不再需要死记硬背书本，而是查数字、画图表、寻找变化量之间的相关性，或者从日常生活中收集的拉丁语词汇中推导出拉丁语名词与动词的词形变化和词形变化的一些基本规则。”

1899年，冯·卡门进入位于本城的皇家约瑟夫技术大学学习工程学，三年后毕业，获得机械工程学位，毕业论文是《圆端由水平面支撑的重杆运动》。随后，他在奥匈帝国军队担任了一年炮兵学员。接下来三年，他在母校担任助理。1906年，他投奔德国学术重镇哥廷根大学的力学泰斗路德维希·普朗特（Ludwig Prandtl，1875-1953），在其门下于1908年获得博士学位，研究论题为“大型结构屈曲的数学模型”。这是他一生中特别强调并努力践行的“用数学理论指导工程研究”的肇始。

航空先驱

冯·卡门的事业起始于哥廷根，那里不仅有“数学世界的亚历山大”希尔伯特（David Hilbert，1862-1943），而且那时一批活跃的理论物理学家在量子世界开始崭露头角。冯·卡门在数学和物理的两个世界都吸收了丰富营养。他修读了前沿的数学课程，参加过讨论班，也和玻恩（Max Born，1882-1970）一同做过理论物理研究。最终，他选择力学，尤其是应用力学，作为终生的研究领域，并在航空实践中施展了卓越的才华。

获得博士学位后，冯·卡门留在哥廷根大学教了四年书。1913年，他接受邀请担任亚琛技术大学航空学院院长。第二年第一次世界大战爆发，从1915年到1918年，他同其他两位匈牙利和捷克工程师为奥匈军队设计了早期的直升飞机，以三人名字命名：Petróczy-Kármán-Žurovec。战争结束后，他携带母亲和妹妹约瑟芬（Josephine de Karman）回到亚琛。之后的那些年，冯·卡门除了埋头理论研究，也和一帮志同道合的德国航空工程师研制滑翔机，以此作为发展航空力学的契机。

人们常说，一个成功的男人背后站着一个伟大的女人，这个女人一般是这个男人的太太。然而就冯·卡门而言，这个女人是他唯一的妹妹。她为了冯·卡门的伟大事业，甚至和他终身未娶一样而终身未嫁，大半生陪伴他、照顾他，这是世间罕见的亲情献身，或许只有也终身未婚的匈牙利传奇数学家埃尔特希（Paul Erdös，1913-1996）的母亲能与她媲美；埃尔特希的母亲直到终老都陪儿子全世界数学旅行。约瑟芬鼓励她的哥哥将他的研究扩展到国界之外，于是冯·卡门在1922年组织了第一届国际力学大会，主题是流体动力学和空气动力学。在自传的第104页，冯·卡门回忆道：

“我设法与罗马大学的杰出数学家图利奥·列维-奇维塔博士会面，我们决定召开第一届国际力学会议。我们向法国人、英国人和美国人发出邀请，在奥地利因斯布鲁克会见他们的前敌人德国人、奥地利人和匈牙利人。我和妹妹自掏腰包支付秘书费用。”

两年后，第一届国际应用力学大会在荷兰城市代尔夫特举行，1946年国际理论与应用力学联盟在巴黎召开的第六届国际应用力学大会上成立。这种尽显冯·卡门国际交流理念的力学家大会已经持续了一百年。

在欧洲科学界开始崭露头角的冯·卡门，也因冯·诺伊曼的未来职业规划而帮过老诺伊曼出主意。据他在自传中津津乐道的回忆，当年17岁少年才子的银行家父亲因发现儿子在自学数学中的“无穷”概念而感到不安，特地带他去见冯·卡门，想请这位工程学教授说服儿子不要当数学家，用他的说法是“数学不赚钱。” 冯·卡门同男孩交谈后，想到当年父亲不让自己过早接触数学的经历却没有妨碍最终学到数学真谛，因而这并非一件坏事，便向银行家建议了一个折中方案：冯·诺伊曼同时在位于不同国土的两所大学——瑞士的苏黎世联邦理工学院和匈牙利的罗兰大学——分别修读父亲要求的化工和自己热爱的纯数学。结果，这位天才几乎没去修什么课就拿到化工的学位，不到二十岁就写出了关于集合论的数学论文。

冯·卡门与美国的姻缘最早来自诺贝尔物理奖得主、加州理工学院校长密立根（Robert Millikan，1868-1953）1926年发给他的一封访美邀请电报，希望他帮助这所欣欣向荣的年轻大学建立航空实验室，建造风洞。风洞用于测试飞机、火箭、汽车甚至建筑物的空气动力学效果。在整个风洞装置中，物体在一个大管道内保持静止，空气在其周围吹动，以研究物体与移动空气之间的相互作用。

冯·卡门一生幽默无比，他的口述自传记录了不少幽默故事。其中一个就与他的首次美国之行有关。冯·卡门从欧洲初到加州理工学院访问后，也去了麻省理工学院等学府一路演讲，在离开美国访问日本前的最后一站旧金山，他被记者采访了。由于他浓重的匈牙利口音，记者误将他回答问题时说的来美目的是访问“实验室”听成了与之风马牛不相及的访问“盥洗间”。它们的英文各为laboratory和lavatory，发音相似，因而一不小心就会张冠李戴。十年多前被请到国内一所顶尖大学任教的一位华人教授，拥有美国名校的双博士学位，学术成果令人瞩目，但有一次在海外开会的饭后闲聊中，他向一位中国教授幽默自嘲：当年在美国常春藤名校教书时，自己的英文发音实在太差。或许他终于忍无可忍了，逃离异邦，回到母语世界教书育人。想必许多留美任教的华人学者都有关于英语发音不准的烦恼吧。

冯·卡门那一年的到访，让加州理工学院下决心建立美国第一流的空气动力学研究基地。1930年，校方正式向他提供了古根海姆航空实验室主任的全职位置。此时，纳粹主义在德国甚嚣尘上，令犹太人冯·卡门深感担忧，于是他决定离开欧洲，一家三口，包括他的母亲和妹妹，一起搬到了气候宜人的南加州洛杉矶。他在实验室主任的办公椅上坐到1949年，然后让座于请他来美国的密立根校长的公子、杰出的航空学家克拉克·密立根（Clark Millikan，1903-1966）。

加州岁月

从1930年起，冯·卡门逐步将加州理工学院打造成航空动力学的世界中心，同时也带出了若干成就斐然的博士，包括中国人耳熟能详的几大华人学者。他不仅以创造性研究著称于世，也以极善教书被学生铭记。

冯·卡门接手的古根海姆航空实验室建于1926年，起初的研究重点在于航空。在他的领导下，实验室从1936年起开始了导弹研究；那一年，钱学森（1911-2009）从麻省理工学院转到加州理工学院成为他的门徒。至1940年为止，这个实验室一直是美国大学中唯一的导弹研究中心；到了1943年11月，著名的喷气推进实验室根据与美国陆军的合同在加州理工学院正式挂牌，冯·卡门从其五年前的初创阶段起就兼任它的主任，1944年由他的学生马尼纳（Frank Malina，1912-1981）接任。

二战中，由于得知德国秘密研制导弹，美国军方提高了对火箭研究的兴趣。1943年初，冯·卡门收到美军工程部门转发自英国的情报，告之德国的火箭射程已超一百英里，半年后冯·卡门以信件方式向军方提供了他对德国计划的分析和评论。次年9月初，于因病在纽约疗养期间，他应约在一个机场跑道末端处的轿车内会晤了美国陆军空军司令阿诺德（Henry Arnold，1886-1950）将军（当年12月21日阿诺德被提升为五星上将），后者随后建议他前往首都华盛顿领导将军的科学顾问小组，并成为军方的长期规划顾问。10月23日，正式任命书下达，从此冯·卡门的主要活动场所从西海岸转移到东海岸，将他的科学才智大剂量地贡献给美军的战略发展。一个月后，已经担任加州理工学院助理教授的钱学森加入了这一超过三十人的科学顾问组，并为全职工作的六名核心成员之一，在五角大楼工作了一年有余。

无论是冯·卡门妙语连珠的自传，还是华裔作家张纯如（Iris Chang，1968-2004）认真写作的钱学森传记《蚕丝》（Thread of the Silkworm），都放进了一张“三代同堂”的师生合照——那是普朗特、冯·卡门和钱学森于1945年晚春在德国的一次不寻常会见。在二战中，普朗特效力于希特勒统治下的国家，而他的这个杰出弟子以及后者的杰出弟子为埋葬纳粹而战，正在完成一项秘密技术使命——向德国顶尖科学家询问那里航空动力学的最新发展。为了行动方便，技术考察团团长冯·卡门被军方“授予”少将军衔，钱学森为上校。会见的场景有点尴尬，因为前辈老师扮演了几乎是“阶下囚”的角色，不过，他的科学贡献是举世闻名的。他唯一的女研究生和唯一的华人学生是中国的陆士嘉（1911-1986），她于1942年在这一位现代流体力学的奠基者指导下获得博士学位。2022年底，普朗特女儿撰写的《普朗特传：回忆和信札中的普朗特》被华人力学家孙博华及六名手下研究生翻译后由高等教育出版社出版。

普朗特、冯·卡门、钱学森（1945）

科教贡献

冯·卡门对人类的贡献是多方面的。美国三十年前出版了一本冯·卡门传记，标题以“The Universal Man（全才）”打头，但他的学术成就主要是在空气动力学，而他科教理念——包括他对应用数学的诠释和强调——影响更加深远。

在本节详细介绍冯·卡门的学术成就是不可能的，也无必要，我们只需列出他的几项里程碑工作即可，而把重点放在他对待应用数学的态度上。

冯·卡门年轻时在哥廷根大学从事过微观的物理和力学研究，为他后来广泛的应用力学研究打下了基础。在宏观的流体力学和空气动力学，他的贡献包括非弹性屈曲、环圆柱流中的非定常尾流、层流稳定性、湍流、稳定和非定常流中的翼型、边界层和超音速空气动力学理论。在其他领域他也作出了许多重要贡献，包括弹性、振动、传热和晶体学等。

英文维基中列出的包含有“冯·卡门”前缀的科学概念和术语足足有22个，其中的两个——“玻恩-冯·卡门边界条件”和“玻恩-冯·卡门晶格模型”属于固体物理学；一个他与博士导师普朗特共同发现的“冯·卡门-普朗特方程”（明渠水流速度定律）；还有两个包含了博士生钱学森的贡献——“卓普雷金-冯·卡门-钱近似”和“冯·卡门-钱压缩性修正”（苏联科学院院士、理论力学家卓普雷金（Sergei Alekseevich Chaplygin，1869-1942）是现代空气流体动力学的奠基人之一），另有九个完全由他独享光荣。

维基介绍冯·卡门时，称他“是匈牙利裔美国数学家、航空航天工程师和物理学家，从事航空航天工作。”这很准确，因为他确是一名“披着工程师外衣的数学家”；他的学生钱学森的博士学位甚至属于两个学科：航空与数学。这是应用科学探索者最理想的身份，即当一名有远大抱负的工程师成了卓越的应用数学家，他的抱负就有可能充分实现。冯·卡门不仅很早就成功经受抽象数学的思维训练，也将数学知识和方法创造性地用于解决困难的工程问题。他在一篇文章中阐述了他对应用数学的看法和希望。

美国布朗大学出版的《应用数学季刊》（Quarterly of Applied Mathematics），其1943年4月创刊号的卷首语是冯·卡门撰写的短文Tooling up mathematics for engineering（编者注：参见《冯·卡门：用数学武装工程科学》）。他以数学家和工程师对话的方式展现了这两类人对“数学和工程相互关系”的基本观点，并从交流中达到相互理解、相互扶持的境界。文章最后的总结表达了数学家和工程师们的共同愿望和行动准则：

工程师：打算从事应用数学研究的数学家必须对所涉及的物理过程有相当好的了解。另一方面，工程师必须足够深入地研究分析基础知识，才能正确使用数学工具。任意组装机床并不能构成高效的机械车间。我们知道你们的数学武器库中有强大的机床。我们面前的任务是知道如何适应和应用它们。

数学家：我觉得你言之有理。进一步类比，为了将工程问题的解付诸实现，你们需要某种工具设计师。这些才是真正的应用数学家。他们的原始背景可能不同；他们可能来自纯数学、物理学或工程学，但他们的共同目标是为工程“装备”数学。

中国情缘

冯·卡门于1928年首次来到北京，建议刚由清华学校升格为国立的清华大学发展航空科学。到了1937年7月初，他第二次来华，欣喜地看到清华的航空系已初具规模，制作了小型风洞，工学院院长、麻省理工学院电机博士顾毓秀（1902-2002）兼任航空研究所所长。抵达北京第二天，卢沟桥事件爆发，幸亏冯·卡门乘了7月6日夜车南下，躲过一场困境。8日他到达南京，与空军司令周至柔（1899-1986）交流，10日上午会后，他又飞往新建的南昌空军基地指导建造风洞。14日他先飞到九江，然后坐了两个小时令他心惊肉跳，“如同过了两周长”的竹竿轿子，穿行于陡峭山路上庐山会见蒋介石夫妇，商讨建立中国的航空工业和空军，打击日寇，并应宋美龄所求当场为她科普风洞。可惜，一切努力付诸东流，第二年日军攻陷南昌，已建好的风洞也毁于战火。中国人大都知道冯·卡门培养了几位华人力学翘楚，但我们也应该记住，在中国全面抗战之始，他就尽力地帮助了我们。

冯·卡门被当代中国人铭记在心，一大原因是他培养出了“中国导弹之父”钱学森。绝大多数完成博士学位的人，与博士论文导师的学术交往一般日趋减少，甚至会按指数级规律衰减至零，然而钱学森却是例外。

天赋异禀的钱学森自交通大学毕业后考取清华大学公费留美，于1935年9月去了麻省理工学院航空系，一年后因为对那里不满而转学加州理工学院，冯·卡门的大门向他敞开。冯·卡门为何马上将他“网罗门下”？答案可在冯·卡门自传中找到：

“1936 年的一天，他来找我寻求进一步研究生学习的建议。这是我们第一次见面。我抬起头，看到一个身材略为矮小的年轻人，神情严肃，异常精准地回答了我的问题。他思维的敏锐与灵活给我留下了深刻印象，我建议他进入加州理工学院深造。”

在接下来的一段，冯·卡门概括了这个学生的资质：

“钱学森同意了。他和我一起解决了许多数学问题。我发现他相当富有想象力，具有数学天赋，并且能够准确地形象化自然现象的物理图像。即使还是个年轻学生的时候，他就帮助我理清了一些关于几个难题的想法。这些是我不常遇到的才智，我和钱成为亲密的同事。”

在自传的同一页，冯·卡门还讲了一个故事。物理系的爱泼斯坦（Paul S. Epstein，1883-1966）教授告诉他：

“你的学生钱学森在我班上，他才华横溢。”

“是的，他很好，”冯·卡门答道。

“告诉我，”爱泼斯坦眼中闪烁着光芒说道，“你认为他有犹太血统吗？”

上面的内容均来自书中专写钱学森的第38章《红色中国的钱博士》（Dr. Tsien of Red China）。全书共44章，除了第23章《玻恩、费米、爱因斯坦》讲了他和这三个朋友和伟大物理学家的故事外，没有其他一章像第38章那样标题集中于一人。这既是钱学森的自豪，也是冯·卡门的骄傲。自然，不仅钱学森是冯·卡门“most brilliant student（最优秀的学生）”，而且前者从1950年到1955年与美国政府之间长期苦斗的独特经历，以及老师参与其中的营救过程，让这一章在书中非写不可，记录了一个中国航空动力学家的传奇。

钱学森在美国共待了20年，除了第一年，其余的19年间与冯·卡门师生紧密相连。1939年6月9日以二等荣誉（magna cum laude）获得航空和数学博士学位后，他留在系里担任助理教授，1945年被提升为副教授，第二年被麻省理工学院航空系聘为副教授，1947年升为正教授。1949年，在冯·卡门的推荐下，他回到母校以罗伯特·H·戈达德喷气推进教授（Robert H. Goddard Professor of Jet Propulsion）的身份担任新建立的喷气推进中心主任。美国工程师和物理学家戈达德（1882-1945）建造了世界上第一个液体燃料火箭。1926 年 3 月 16 日，他成功发射火箭，开启了太空飞行的新时代。

1955年，钱学森归国前和冯·卡门告别时送给恩师自己的新著《工程控制论》。按照钱学森生前所说，老师翻看书时对他说：“你在学术上已经超过了我。”出于民族自尊心，读到这句话的中国人一定很自豪。但是在张纯如精心写作的英文钱传《蚕丝》序言里，作者这样写道：

“毫无疑问，钱学森是一位才华横溢、一流的学者，但他的同事一再向我强调，他与艾萨克·牛顿或阿尔伯特·爱因斯坦，甚至与他在加州理工学院的导师西奥多·冯·卡门不是一个层次。钱可能研究了对美国空气动力学家有用的理论问题，但他从未彻底改变或创建自己的领域。如果钱于1955年去世并且从未去过中国，他的一生就不会值得一部一流的传记。”

张纯如引用了她采访的一些行家的评述，比如：

“钱学森的朋友、普林斯顿大学前航空学教授马丁·萨默菲尔德（Martin Summerfield）表示：‘他的视野远不如冯·卡门、爱因斯坦、特勒或任何其他伟人那样远。他的视野与他们不同。他会执行他们的计算，成为他们的左膀右臂，但不是策划者。我认为他带走的是这种复制能力，复制了他们已做的。’”

虽然在这些西方专家眼里，钱学森在学术上尚未达到冯·卡门等科学巨人的高度，但他回到祖国后为导弹和航天事业作出了无人能比的巨大贡献。作为战略科学家，他们师徒二人为各自的国家奉献了功勋卓著的一生。冯·卡门被赋予美国首届国家科学奖的殊荣，而钱学森当之无愧地获得中国迄今唯一的“国家杰出贡献科学家”荣誉称号。

此外，至少有三个中国人在冯·卡门手中拿到博士学位，他们是胡宁（1916-1997；1943年）、林家翘（1916-2013；1944年）和郭永怀（1909-1968；1945年）。与后两位同在多伦多大学跟随辛格（John Synge，1897-1995）读了硕士学位的钱伟长（1912-2010），赶在导师一年后转到美国任教前继续跟他读到博士学位，然后去了加州理工学院喷气推进实验室工作，所以他并非冯·卡门严格意义上的弟子，而是手下的工程师。他和林家翘在刊登冯·卡门著名创刊词的《应用数学季刊》第一期上各自发表了一篇论文。

后来，胡宁成为中国著名的理论物理学家；林家翘长期任教麻省理工学院数学系，成为最高级别的“学院教授”并被遴选为美国国家科学院院士，晚年回到清华大学担任“周培源应用数学研究中心”名誉主任；郭永怀1956年在康奈尔大学航空系正教授的岗位上返国，近60周岁时因飞机失事殉职，1999年被国家追授“两弹一星”功勋奖章。

冯·卡门为中华民族一代力学英豪的成长功不可没！

写于2023年7月13日星期三

美国哈蒂斯堡夏日山庄