数字之最:世界上已知的最大完美数
世界上已知的最大完美数
高志向
前不久,来自美国佛罗里达州的互联网专家及数学爱好者帕特里克·拉罗什利用名为“互联网梅森素数大搜索(GIMPS)”的国际合作项目,成功发现了第51个完全数2^82589932(2^82589933-1);该数有49724095位,是目前世界上已知的最大完美数。如果用普通字号将它打印下来,其长度将超过200公里!
完美数(英文perfect number),又称完全数或完备数,是一些特殊的自然数。它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和(即因子函数),恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的因子之和,则称该数为“完美数”。第一个完美数是6(=1+2+3),第二个完美数是28(=1+2+4+7+14),后面的完美数还有496、8128、33550336等。
公元前6世纪的古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯是最早探究完美数的人,他已经知道6和28这两个自然数是完美数了。到了公元前3世纪,古希腊数学家欧几里得在其名著《几何原本》中首次给出了寻找完美数的方法,被数学界誉为欧几里得定理:如果2^P-1是素数(其中指数P也是素数),则2^(P-1)(2^P-1)是完美数。2^P-1型的素数被数学界称为梅森素数,它是以17世纪法国数学家马林·梅森命名的。
1730年,被称为“世界四大数学家雄狮”之一的瑞士数学家、物理学家莱昂哈德·欧拉,时年23岁,正值风华茂盛。他出手不凡,给出了一个出色的定理:每一个偶完美数都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然数,其中P是素数,2^P-1也是素数。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得和欧拉两个互逆定理,公式2^(P-1)(2^P-1)就成为判断一个偶数是不是完美数的充要条件了。
法国数学家、哲学家、物理学家勒内·笛卡尔曾公开预言:“能找出完美数是不会多的,好比人类一样,要找一个完人亦非易事。”历史证实了他的预言。有趣的是,这些完美数都是偶数;其个位数要么是6,要么就是8。由于完美数具有独特美妙的数学性质,千百年来,许多著名数学家以及无数数学爱好者对它情有独钟。2600多年来,人们历尽艰辛,一共才找到51个完美数。由于完美数优美且稀少,它被誉为“数海明珠”。
由欧几里得-欧拉定理可知,人们只要找到一个梅森素数,就可以找到一个与其对应的偶完美数。梅森素数貌似简单,但当指数P值较大时,其探究难度就会很大。它是数论研究的一项重要内容,也是当今科学探究的热点和难点之一。目前,全球有200多个国家和地区近25万人参加了GIMPS项目,并动用了超过247万核的中央处理器(CPU)联网来寻找新的梅森素数。
特别值得一提的是,人们在寻找梅森素数的同时,在基础研究上取得一些可喜的成绩。比如在素性判断方面,法国数学家爱德华·鲁卡斯和美国数学家德里克·雷默都做出了重要贡献;以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。在分布规律研究方面,中国数学家、语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式;后来这一重大研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。
完美数是否有无穷多个?是否存在奇完美数?这些都是数论中的著名难题。尽管我们现在还看不到完美数的实际用处,但它反映了自然数的某些基本规律;探究自然规律,揭开科学上的未知之谜,正是科学追求的目标。
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