质能方程刚好是光速的平方，如此巧合是否暗藏更深层的宇宙规则？

发布者：清水有龍 2023-1-1 20:19

这个c²根本上来自于四维速度和四维动量的定义，我们先不管这个四维动量，我们先用其它取巧的方式来解释：

从量纲分析来解释

这个解释是最简单的（当然你会不服这种解释方式），从在爱因斯坦之前就得到的动能公式就可以简单推导为什么爱因斯坦必须用c²。所以爱因斯坦不用出生，我们也应该知道这个宇宙的深层规则。

动能公式是:

E=mv²/2

（注意这里有一个1/2的原因是能量是动量的积分，或者说动量是能量的导数）。

上图：量纲分析，最后一项是能量，由质量、长度和时间的三种量构成。


我们知道能量的单位是焦耳，根据上述公式可以推导出焦耳的量纲是千克·米平方每秒平方（kg·m²/s²），也就是说，焦耳是每平方秒上质量与距离平方的乘积。所有能量算出来的单位必须包含米平方这个量纲。


所以，在爱因斯坦的质能方程中，唯一带有长度量纲的量就是光速c，所以就算我们没搞清楚质能方程式如何推导出来的，我们也必需给c加上一个平方以配平量纲。

但你可能对此不服，那么我们下面还有其它更精妙的解释，但是会更难懂一些：

从光子能量的角度来解释

第二种解释方式，也采用了一种投机取巧的办法来解释这个c²问题。我们找一个没有静态质量的东西来说事——光子。为了推导出质能方程，我们需要先介绍两个非常有名的关于光子的公式。

光子的动量公式：

p = h/λ，其中，p是动量，h是普朗克常量，λ是波长。此公式说明光子的动量只与其波长有关。

上图：光子能量公式。

光子的动量也可以表示为p=mc；（由于光子没有静态质量，所以这里的m是光子的全部相对论质量）

光子能量公式：

E=hf，其中，E是能量，h是普朗克常量,f是频率。

频率f实际上=c/λ，即光速除以波长，也就是一秒内光振动的周期数。

由此，把动量公式带入能量公式，过程如下：

把频率f代换一下：E=hc/λ；把h/λ代换成动量：E=pc；再把动量p代换成mc：E=mc·c=mc²。

搞定。

这个解释利用了光子没有静质量的特性，简化了推导逻辑。如果你还不服的话，那下面只好用最难懂的方式来解释了。

通过四维时空当中的速度和动量来推导质能方程中的那个c²

我们知道三维空间中的距离计算公式是想x,y,z的函数，几何意义如下图所示：

而在四维时空当中的距离计算公式则是x,y,z,t的函数（这个不好用图表示几何意义）：

这个实际上是闵可夫斯基度规的行列式：

上面行列式跟度规矩阵的关系推导过程如下：

根据上面关于四维距离的定义，我们是完全可以定义出四维速度和四维动量的。因为推导这两个定义的过程有点复杂，这里也不需要涉及那个过程。简单点说，这里只需要知道我们日常所谓的速度和动量实际上是三维速度和动量，因为没有把时间流逝带来的距离改变算进去。如果把时间流逝一旦算进去，那么静止的物体也是有速度的，而且这个速度就是c。

再回头来看，实际上闵可夫斯基度规矩阵的涵义是说，任何静止的物体（肯定质量不为0）实际上都是在以光速（在时间轴上）运动。

物体的四维动量的计算公式是p = m u，其中u是物体的四维速度。

而四维动量的分量定义如下：

其中，p0是在时间轴上的分量。

如果物体没有三维动量（即在三维中静止），但仍然会有四维动量——因为时间还在以光速流逝（u=c）。

那么上述公式可以变换为：

E/c=mc,因为在光速下总动量p=E/c。

由此可以推导出，在四维时空中总能量E=mc²。

这个c²对于静止物体来说是指其在时间轴上以光速运动所拥有的动能，这就是为什么静质量仍然具有能量的原因——时间流逝。

而对于运动的物体来说，其三维动量会贡献一部分能量，这部分能量可换算成相对论质量。

总结

我们用三种方式解释甚至推导了质能方程，虽然不是从最基础的定义开始推导，但大致给出了质能方程的逻辑。从推导中我们可以发现，条条大路通“光速”的根本原因，是光速就是我们的时间流逝的速度。静止物体仍然以光速运动，而能量是动量或者说速度的积分，因此能量中的这个c自然就带上了二次方的帽子（理解这个需要有点点高数基础，主要是导数的涵义和在代数上的表现）。

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