为什么时空是弯曲的——你也能懂的广义相对论基本原理

01

用两句话概括广义相对论

从内在逻辑来看, 广义相对论 () 包含两个方面:

i. 时空是弯曲的, 其中 (自由降) 质点按此弯曲时空的类时测地线进行运动;

ii. 时空按 Einstein 场方程 (EFE) 进行弯曲, 不同弯曲时空是 EFE 在不同条件下的相应时空解.

其中第二方面, 需要大量动用相关数学工具–主要即微分几何, 才可进行深入研究; 是所有广义相对论教材的主要部分, 本文就不打算介绍了；而第一方面, 却可以尽量用人类的自然语言定性地讲明白; 本文即致力于这一任务的达成. 当然, 其中必然无法完全避免微分几何中的一些基本概念, 如同胚/同构/微分流形等等; 但不用紧张: 哪怕尚未严格地学习过它们, 读者诸君对这些概念的 “道听途说” 来的一知半解的把握, 对于实现本章的目的而言, 就已足够使用.

02

流形, 一般坐标变换, 广义协变性

以二维球面 为例, 若不单把它视为嵌入三维 Euclidean 空间的弯曲的几何对象, 同时也将之视为某种广义的空间本身, 则在这种观点下, 就可并不平庸地得出: 空间本身就是可以弯曲的. 因为这种理念上的 “进化”, 作为空间的几何对象, 或作为几何对象的空间, 就有必要被赋予一个新的名字, 称为流形(). 某流形 上, 一般并不存在可以覆盖全局的坐标系; 而它上面的某一块 (开) 区域, 则可被多套不同的坐标 (多张不同的卡) 所覆盖; 两套坐标之间的变换, 称为转移映射(), 或一般坐标变换() . 在此一般坐标变换下: 生活在流形 上的合法的几何量, 将作相应的或 “协同的” 某种变化, 称是协变的 (); 而几何量之间的方程, 其形式结构应保持不变 (); 这两件事, 称为几何规律的广义协变性 (). 作为一个 “换外衣” 的被动坐标变换, 显然, 天生是保距 () 的; 从而, 一个运动型的 必是 中的一个等距同构 (). 流形 上的所有等距同构操作, 即所有 (运动型的) , 形成一个等距同构群, 称为 的对称群 (). 于是, 几何量的广义协变性这一原则, 也就意味着 (或可以表达为): 某几何量的对称群/性, 就是它所生活于其中的那个流形/空间的对称群/性.

03

狭义相对性原理, 平坦坐标变换,

Lorentz 协变性

狭义相对论说: 对于任意惯性参考系 (无引力时空中的不受力参考系), 物理规律都应当具有相同的形式结构; 对于物理规律, 任意惯性系都应当是等价的; 或者说: 对于惯性参考系变换, 物理规律的形式结构保持不变; 这称为狭义相对性原理 (). 物理上的 “惯性系-惯性系” 变换, 在数学上, 就是在同一个时空 (Minkowski 时空) 中, 从平坦坐标到另一套平坦坐标之间的一类坐标变换 , 即 ; 也就是上节一般坐标变换 的一种简单情形.Minkowski 时空 中的合法的时空几何量, 具有关于 的协变性, 称为 协变性; 三个方向上的 (事实上还包括三个 rotation 操作) 形成一个群, 称为 群 , 是为 的对称群 (的保定点子群). 于是至此可见: 狭义相对性原理, 在数学上, 也就想当于做了这样一个大胆的论断, 即把某个空间 (此处即 Minkowski 时空) 的协变性由几何量推广到了物理量; 具体地说就是: 物理规律, 也就是物理量/方程, 如同时空几何量/方程一样, 也应当以 Minkowski 时空 为背景, 关于坐标变换 保持协变/不变; 即具有 协变性, 以 群 为对称群. 此论断虽说 “大胆”, 然而也是非常符合直觉, 进而非常合理的: 具体的某个惯性参考系/某套坐标, 只是物理规律的一件外衣或展现舞台; 物理规律本身, 应当与任何惯性系无关.

然而, 显然: 从美学上看, 狭义相对性原理缺少了对于非惯性 () 参考系的关照; 从实践上看, 也没有任何理由可以阻止人们以非惯性的视角来描述世界 (物理规律); 世界 (物理规律)在非惯性观察者的眼中, 自然也得有个 “样子”; 总而言之: 对于物理上的任意参考系变换, 而不仅仅是惯性参考系变换, 物理规律的形式结构及其变化方式, 亟待得到进一步说明.

1.本文提到的所有与狭义相对论有关的知识, 皆可参见本人所著《量子场论》第一章中的相关部分.

2.关于能构成对称群元的操作, 在平坦空间 (如 Minkowski 时空) 中, 不仅要求它是等距同构的, 还进一步要求它是保持度规形态不变的.这后一要求, 事实上相当于把从惯性系到非惯性系的变换, 排除在了 Minkowski 时空对称群元之外.

04

惯性系-非惯性系变换, 时空流形化,

广义相对性原理

常常易容易被忽视的是: 狭义相对论不仅研究了惯性系变换, 事实上也研究了惯性系与非惯性系之间的变换; 后一方面, 集中反映在关于四维匀加速参考系的工作之中; 结果表明: 物理上的 “惯性系-非惯性系” 变换, 在数学上, 就是在同一个时空 (Minkowski 时空) 中, 从平坦坐标到另一套 “弯曲” 坐标, 即 坐标, 之间的一类坐标变换 . 在加速者视角下, 有资格认为他所身处的这个由这套 “弯曲” 坐标所描述的时空区域 (即 Rindler wedge) 本身, 就是 “弯曲” 的; 非惯性系中的自由降运动, 为 “弯曲” 时空 中的类时测地线 (). 由此可见: 非惯性系及其中的自由降运动, 可以纯以几何语言进行刻画, 而不用再像经典力学那样, 借助于 “惯性力”与 Newton 第二定律等这些概念或原理; 这套对非惯性系/惯性力的几何化描述方案, 可称为惯性力几何化. 从基本概念到指导原理, 都发生了重大而根本的变化: 物理学中的这种力的几何化, 可算是哲学中范式迁移 () 的最为典型的例子之一. 当然, 的这种 “弯曲”, 可由其中的自由降观察者 O 抹平, 而且是全局 () 抹平; 即 O 可作证: Rindler 度规所描述的四维匀加速非惯性系视角下的这种 “弯曲”, 事实上并不存在, 是平庸的. 然而, 尽管如此, 仍然不妨碍关于弯曲时空的一切概念或工具, 都可以使用在 上–上文已经作了展现; 所以, 至此即可合理而自信地说:

时空也是可以弯曲的一类流形.

现在, 就可以请出所谓广义相对性原理 () 了; 它很简单, 就是对狭义相对性原理由惯性系到任意系的直接推广: 对于任意参考系, 基本物理规律都应当具有相同的形式结构; 对于基本物理规律, 任意参考系都应当是等价的; 或者说: 对于 “任意系-任意系” 变换, 基本物理规律的形式结构保持不变. 与狭义相对性原理相似, 广义相对性原理, 在数学上, 也就相当于做了这样一个大胆且合理的论断, 即把某个一般弯曲时空 的协变性由几何量推广到了物理量; 具体地说就是: 物理规律, 也就是物理量/方程, 如同时空几何量/方程一样, 也应当以弯曲时空 为背景, 关于一般坐标变换 保持协变/不变; 即具有广义协变性, 以 的对称群为对称群. 值得强调: 如果惯性系/非惯性系是全局的, 那么由这样的非惯性系所看到的 “弯曲”, 便可由其中的自由降运动所全局抹除; 这也就意味着: 对于真弯曲时空–如果存在的话, 必定不存在全局的惯性系或非惯性系; 能够对应于数学上的一般坐标变换 的物理上的 “任意系-任意系” 变换, 必定是局域 () 的.

3. 构成的群, 称为一般线性群 (); 对于四维时空, 即 .

05

背景独立, 微分同胚协变性

广义协变性与广义相对性原理, 即如下陈述–互相等距的不同的坐标系, 使几何/物理方程按其变换 具有相同的协变性, 不改变物理方程的形式结构”, 又可总结为: 基本的几何/物理规律是坐标无关 () 的, 或背景独立 () 的; 一般认为, 这是在物理观念上, 广义相对论给予人们的最重要的启示之一. 更进一步地, 对于不保距的一般微分同胚变换 Jdiff,即在拥有不同曲率的不同微分流形之间, 尽管几何/物理量不再具有关于 的协变性, 但其方程的形式结构仍然是保持不变的; 即此时 “物理规律 (的形式结构) 独立于特定时空背景” 的这一观念,仍然是成立的. 据此, 人们也常将广义协变性与微分同胚协变性混称; 但须注意它们的微妙差别.

06

等效原理, 有引力存在的时空 = 弯曲时空

在经典力学中就已知晓: 惯性力与引力具有某种相似性; 所谓等效原理()的作用就是, 以宣称它们局域等效的形式, 系统地总结了这件事. 具体地: 静止于引力场中的参考系,可视为 (无引力时空中的) 局域非惯性系; 在引力场中作自由降的参考系, 可视为 (无引力时空中的)局域惯性系; 进一步, 这就意味着: 在于其中作自由降的观察者看来, 引力可被局域抵消; 有引力存在的时空, 具有局域 协变性. 接下来, 就是等效原理登场的时刻了–它不但将给出时空的确是可以弯曲的, 而且将给出什么样的时空是弯曲的. 具体逻辑过程如下

–既然非惯性系等价于 “弯曲” 时空, 对惯性力作用下物体运动的描述, 可以诉诸相应弯曲时空的类时测地线, 而不请出惯性力这个概念, 那么, 以等效原理为桥梁, 即可得出如下论断: 有引力存在的参考系等价于弯曲时空, 对引力作用下物体运动的描述, 可以诉诸相应弯曲时空的类时测地线,而不请出引力 () 这个概念;

–再考虑到它们的关键区别–引力只是局域地等效于 (无引力时空中的) 惯性力–又可进一步得出: 不像惯性力对应的 “弯曲” 可被全局抹平, 引力所对应的时空弯曲, 只能被局域抹平, 不可被全局抹平; 从而是确确实实的, 是非平庸的; 总而言之:

经典语境下有引力存在的时空, 就是几何语境下的弯曲时空.

由此可见: 对于有引力存在的时空及其中的自由降运动, 可以纯以几何语言进行刻画, 而不用再像经典引力理论那样, 借助于 “引力” 与 Newton 第二定律等这些概念或原理; 这套对引力的几何化描述方案, 可称为引力几何化 ().

07

“物质” 导致时空弯曲, 时空动力学

既然有引力存在的时空等价于弯曲时空, 那么, 时空的弯曲, 是由什么导致的? 在 Newton 经典引力理论中, 物质导致引力 (按万有引力定律); 逻辑地, 在现在的几何化理论/范式中, 显然应是

“物质” 导致时空弯曲.

更进一步, “物质” 是如何导致时空弯曲的, 即它们之间的具体数学表达式是什么, 就是新范式下亟须回答的问题了; 此问题的实质, 就是确定新理论的动力学 (即时空动力学) 方程; 其答案, 众所周知,就是Einstein 场方程, 是为 Einstein 的伟大贡献之一. 整个广义相对论, 可以说就是围绕着 Einstein 场方程的各种时空解 (如黑洞, 引力波, 宇宙学等) 及对它们的特性分析而展开的; 在下一章系统学习必要的微分几何知识后, 即会着手进行这样的工作. 目前, 从哲学上讲, “物质” 导致时空弯曲这件事, 相当于使时空变成了一个动力学客体, 它可以 “产生”, 可以运动变化, 甚至可以 “消失” 或 “灭亡”; 时空 () 并不仅仅是物理规律的一成不变的舞台, 而是一个有其自身演化规律的 “活的” 舞台–这是关于宇宙, 广义相对论带给人类的最了不起的发现!

关于广义相对论的基本原理, 至此可以说已是比较完备; 事实上, 正在阅读本的诸君, 若有很懂微分几何之人的话, 于此, 就可直接开始关于广义相对论的具体计算工作了.

转载内容仅代表作者观点

不代表中科院物理所立场

如需转载请联系原公众号

来源：中国科学院理论物理研究所

编辑：尼洛